Утверждение
Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.
Дано:
окружность (O;d),
ABCD — вписанный четырёхугольник,
AC⊥BD
Доказать: AD² +BC² = d²
Доказательство:
I способ
Радиус и диаметр описанной около треугольника окружности можно найти по формуле
где α — угол, противолежащий стороне a.
Для вписанного треугольника ABD
откуда
Для треугольника ABC —
Обозначим точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD как F.
В прямоугольном треугольнике ABF по определению синуса и косинуса
Что и требовалось доказать.
II способ
Проведём диаметр AK, AK=d.
Рассмотрим треугольник ADK.
∠ADK=90° (как вписанный угол, опирающийся на диаметр).
то есть
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то ∠KAD=90°-∠AKD.
∠AKD=∠ABD (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD).
В прямоугольном треугольнике ABF ∠BAF=90°-∠ABF=90°-∠ABD=90°-∠AKD=∠KAD.
Таким образом, ∪KD=2∠KAD, ∪BC=2∠BAC, ∠BAC=∠KAD. Поэтому ∪KD=∪BC.
Так как дуги равны, то они стягивают равные хорды, то есть KD=BC.
Отсюда
Следовательно, AB²+CD²=AD²+BC²=d² (=4R²).
Что и требовалось доказать.