Задача.
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках F и K соответственно. Доказать, что BF=DK.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AC∩BD=O, O∈FK,
FK∩BC=F, FK∩AD=K
Доказать: BF=DK
Доказательство:
Рассмотрим треугольники BOD и DOK
1) ∠BOF =∠DOK (как вертикальные);
2) BO=DO (по свойству диагоналей параллелограмма);
3) ∠OBF =∠ODK (как внутренние накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей BD).
Следовательно, треугольники BOD и DOK равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BF=DK.
Что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается, что CF=AK (из равенства треугольников COF и AOK).