Теорема.
Центральная симметрия является движением.
Доказательство:
Пусть A и B — две произвольные точки фигуры F.
При симметрии относительно точки O фигуры F точка A переходит в точку A1, точка B — в точку B1.
Рассмотрим треугольники AOB и A1OB.
1) AO=OA1
2) BO=OB1 (так как A и A1, B и B1 — точки, симметричные относительно точки O)
3) ∠AOB=∠B1OA1 (как вертикальные)
Следовательно, треугольники AOB и A1OB равны (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=A1B1, то есть расстояние между точками сохраняется, а значит, преобразование симметрии относительно точки является движением.
Что и требовалось доказать.