Аксиомы — простые утверждения,очевидность которых не вызывает сомнений.
Аксиомы являются фундаментом, на основе которого с помощью определений и теорем строится предмет геометрии.
В различных школьных учебниках формулировки и набор аксиом несколько отличаются.
Приведём один из вариантом системы аксиом планиметрии и стереометрии.
Аксиомы планиметрии
- Аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости
I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
II.Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
- Аксиомы измерения отрезков
III. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля.
Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
- Аксиома расположения точек относительно прямой на плоскости
IV. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Если концы отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую.
Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям,то отрезок пересекает прямую.
- Аксиомы измерения углов
V. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°.
Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
- Аксиомы откладывания отрезков и углов
VI. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
VII. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
- Аксиома существования треугольника, равного данному
VIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.
- Аксиома параллельных прямых
IX. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
- Аксиомы измерения площадей
X. Равные многоугольники имеют равные площади.
XI. Если многоугольник разбит на несколько многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольника.
XII. Площадь квадрата со стороной, равной единицы длины, равна единицы площади.
Основные аксиомы стереометрии
1) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой,можно провести плоскость, и притом только одну.
2) Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
3) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.