Правильный многоугольник |

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны.

Равносторонний треугольник и квадрат — примеры правильных многоугольников.

Угол, под которым сторона многоугольника видна из его центра, называется центральным углом многоугольника.

pravilnyj-mnogougolnik

Например,

$\angle {A_1}O{A_5} = \beta$

— центральный угол правильного пятиугольника

${A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}.$

Свойства правильных многоугольников

Радиус R описанной около правильного n-угольника окружности равен

$R = \frac{a}{{2\sin \frac{{{{180}^o}}}{n}}},$

где a — сторона n-угольника.

Радиус r вписанной в правильный n-угольник окружности равен

$r = \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}}$

Сторону правильного n-угольника можно найти по формулам
$a = 2r \cdot tg\frac{{{{180}^o}}}{n}$

$a = 2R \cdot \sin \frac{{{{180}^o}}}{n}$

Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр — центр правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника равноудалён от сторон многоугольника и равноудалён от вершин многоугольника.

Площадь любого правильного многоугольника равна
$S = p \cdot r,$

где p — полупериметр многоугольника, r — радиус вписанной в него окружности.

Для n-угольника

$p = \frac{{n \cdot a}}{2}, \Rightarrow S = \frac{{n \cdot a \cdot r}}{2}.$

Правильные n-угольники подобны между собой. (В частном случае, если стороны n-угольников равны, n-угольники равны).

У правильных n-угольников отношения сторон, периметров, радиусов вписанных окружностей и радиусов описанных окружностей равны:
$\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{P_1}}}{{{P_2}}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}$
Площади правильных n-угольников относятся как квадраты их линейных размеров (например, как квадраты сторон):
$\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{a_1^2}}{{a_2^2}}$
Каждый внутренний угол правильного n-угольника равен
$\alpha = \frac{{{{180}^o}(n - 2)}}{n}$
Каждый внешний угол правильного n-угольника равен
$\varphi = \frac{{{{360}^o}}}{n}$
Каждый центральный угол правильного n-угольника равен
$\beta = \frac{{{{360}^o}}}{n}.$

Правильный многоугольник