Диагонали ромба равны D и d

Если известно, что диагонали ромба равны D и d, то, пользуясь свойствами ромба, можно найти остальные его элементы.

diagonali-romba-ravny Даны диагонали ромба: большая диагональ равна D, меньшая — d.

Найти сторону ромба, его периметр и площадь, углы, высоту, радиус вписанной окружности.

Решение:

В ромбе ABCD AC=D, BD=d.

По свойству ромба, его диагонали пересекаются под прямым углом, в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов ромба.

Пусть AC ∩ BD=O. Тогда в прямоугольном треугольнике AOB

$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{D}{2},BO = \frac{1}{2}BD = \frac{d}{2},$

$\angle ABO = \frac{1}{2}\angle ABC,\angle BAO = \frac{1}{2}\angle BAD.$

По теореме Пифагора

$A{B^2} = A{O^2} + B{O^2},$

$A{B^2} = {(\frac{D}{2})^2} + {(\frac{d}{2})^2} = \frac{{{D^2} + {d^2}}}{4}.$

Таким образом, сторона ромба через его диагонали может быть найдена как

$AB = \sqrt {\frac{{{D^2} + {d^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}{2}.$

$P = 4AB = 4 \cdot \frac{{\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}{2} = 2\sqrt {{D^2} + {d^2}} .$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, то есть,

$S = \frac{1}{2}AC \cdot BD, \Rightarrow S = \frac{{Dd}}{2}.$

По определению тангенса,

$tg\angle BAO = \frac{{BO}}{{AO}},$

$tg\angle BAO = \frac{{\frac{d}{2}}}{{\frac{D}{2}}} = \frac{d}{D}, \Rightarrow \angle BAO = arctg\frac{d}{D}.$

Аналогично,

$tg\angle ABO = \frac{{AO}}{{BO}},$

$tg\angle ABO = \frac{{\frac{D}{2}}}{{\frac{d}{2}}} = \frac{D}{d}, \Rightarrow \angle ABO = arctg\frac{D}{d}.$

Высоту ромба можно найти, например, через его площадь.

С одной стороны,

$S = \frac{1}{2}AC \cdot BD,$

с другой —

$S = AD \cdot BH,$

где BH — высота ромба. Приравняв правые части равенств, получаем:

$AD \cdot BH = \frac{1}{2}AC \cdot BD, \Rightarrow BH = \frac{{AC \cdot BD}}{{2AD}},$

$BH = \frac{{Dd}}{{2 \cdot \frac{{\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}{2}}} = \frac{{Dd}}{{\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}.$

Таким образом, высота ромба через его диагонали может быть найдена по формуле

$h = \frac{{Dd}}{{\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}.$

Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба, значит,

$r = \frac{1}{2}h = \frac{{Dd}}{{2\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}.$

Запоминать эти формулы не нужно. При решении конкретной задачи нужно провести аналогичные рассуждения для конкретных данных.

Например, если диагонали ромба равны 12 и 18, сторона ромба

$A{B^2} = {(\frac{{12}}{2})^2} + {(\frac{{16}}{2})^2} = 100, \Rightarrow AB = 10$

и т.д.