В параллелограмм вписана окружность

Если в условии задачи сказано, что в параллелограмм вписана окружность, то что сразу можно сказать об этом параллелограмме?

Для этого надо вспомнить, когда в четырехугольник можно вписать окружность. Это можно сделать лишь в том случае, если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны.

Это условие выполняется только для тех параллелограммов, у которых все стороны равны, то есть только для ромба (и квадрата, как частного случая ромба).

Следовательно, если известно, что в параллелограмм можно вписать окружность, сразу можно сделать вывод, что все его стороны равны, и для него справедливы все свойства ромба. Если же дополнительно сказано, что хотя бы один из углов этого параллелограмма прямой, то такой параллелограмм — квадрат.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по формуле

$r = \frac{S}{p},$

где S — площадь ромба, p — его полупериметр;

или как половину высоты ромба

$r = \frac{1}{2}h$

Задачи.

1) В параллелограмм вписана окружность. Найти периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 10 см.

Решение:

Из всех параллелограммов вписать окружность можно только в ромб (и квадрат). У ромба все стороны равны.

Периметр ромба

$P = 4a = 4 \cdot 10 = 40(cm).$

Ответ: 40 см.

2) В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус, если высота параллелограмма равна 12 см.

Решение:

Из параллелограммов вписать окружность можно в ромб (и квадрат). Радиус вписанной в ромб (и квадрат) окружности равен половине его высоты:

$r = \frac{1}{2}h = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6cm.$

Ответ: 6 см.

3) В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус, если диагонали параллелограмма равны 6 см и 8 см.

Решение:

v-parallelogramm-vpisana-okruzhnost Из всех параллелограммов окружность можно вписать в ромб (и квадрат. У квадрата диагонали равны, следовательно, в задаче речь идёт о ромбе).