Медиана треугольника является его высотой

Медиана треугольника является его высотой

Какой вывод можно сделать из того, что медиана треугольника является его высотой?

Утверждение.

Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник — равнобедренный.

mediana treugolnika yavlyaetsya ego vyisotoy Дано:

∆ ABC,

CF — высота и медиана

Доказать:

∆ ABC — равнобедренный.

Сначала наметим план доказательства. Что означает, что треугольник равнобедренный? Это значит, что у него две стороны равны. Значит, нам надо доказать, что в ∆ ABC две стороны равны: AC=BC. Равенство сторон следует из равенства треугольников. Следовательно, нам нужно будет доказать равенство двух треугольников. Каких? ∆ AFC и ∆ BFC.

Что нам известно их условия задачи? CF — высота, значит, СF перпендикулярна AB, поэтому углы AFC и BFC — прямые.

Еще знаем, что CF — медиана. Значит, она делит стороны AB на две равные части: AF=BF.  Таким образом, два пункта из трех для доказательства равенства треугольников уже есть.

esli mediana treugolnika yavlyaetsya ego vyisotoy Выделим треугольники разными цветами.

Этот прием позволяет увидеть, что сторона СF — общая.

Три пункта есть.

Переходим к записи доказательства.

 

Доказательство:

Рассмотрим ∆ AFC и ∆ BFC.

1) ∠AFC=∠BFC=90º (так как CF — высота треугольника ABC по условию).

2) AF=BF (так как CF — медиана треугольника ABC по условию).

3) Сторона CF — общая.

Следовательно, ∆ AFC = ∆ BFC (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC. Значит, ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике все высоты и медианы совпадают, то треугольник — равносторонний (каждые две стороны между собой равны, следовательно, равны все три стороны).

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *