Высоты параллелограмма и угол между ними

Как найти стороны параллелограмма, если даны высоты параллелограмма и угол между ними? Как найти периметр и площадь параллелограмма по его высотам и углу между высотами?

Задача.

Высоты параллелограмма равны m и n, а угол между ними — . Найти стороны параллелограмма, его периметр и площадь.

vysoty-parallelogramma-i-ugol-mezhdu-nimi I. Так как угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма,

$\angle A = \angle C = \angle MBN = \alpha .$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM.

По определению синуса,

$\sin \angle A = \frac{{BM}}{{AB}},$

следовательно,

$AB = \frac{{BM}}{{\sin \angle A}} = \frac{m}{{\sin \alpha }}.$

Аналогично, из треугольника BCN

$BC = \frac{{BN}}{{\sin \angle C}} = \frac{n}{{\sin \alpha }}.$

Периметр параллелограмма

${P_{ABCD}} = 2(AB + BC)$

${P_{ABCD}} = 2(\frac{m}{{\sin \alpha }} + \frac{n}{{\sin \alpha }}) = \frac{{2(m + n)}}{{\sin \alpha }}.$

Площадь параллелограмма

${S_{ABCD}} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A$

${S_{ABCD}} = \frac{m}{{\sin \alpha }} \cdot \frac{n}{{\sin \alpha }} \cdot \sin \alpha = \frac{{mn}}{{\sin \alpha }}.$

dany-vysoty-parallelogramma-i-ugol-mezhdu-nimi II. Так как угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма,