Угол между хордами

Утверждение

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

ugol-mezhdu-hordami Дано: окружность (O; R),

AB и CD — хорды, AB∩CD=F

Доказать:

$\angle AFD = \frac{1}{2}( \cup AD + \cup BC)$

Доказательство:

ugol-mezhdu-peresekayushchimisya-hordami Рассмотрим треугольник BFD.

∠AFD — внешний угол при вершине F.

По свойству внешнего угла треугольника ∠AFD=∠FBD+∠FDB.

$\angle {\rm{FBD = }}\frac{1}{2} \cup AD$

(как вписанный угол, опирающийся на дугу AD),

$\angle {\rm{FDB = }}\frac{1}{2} \cup BC$

(как вписанный угол, опирающийся на дугу BC).

Следовательно,

$\angle AFD = \frac{1}{2} \cup AD + \frac{1}{2} \cup BC =$

$\frac{1}{2}( \cup AD + \cup BC).$

Что и требовалось доказать.