Угол между общими касательными |

Если две окружности касаются внешне, как найти угол между их общими внешними касательными?

ugol-mezhdu-obshchimi-kasatelnymi Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке D, CK и CM — их общие внешние касательные.

Найти: ∠KCM

Решение:

Центры окружностей, точки O1 иO2 и их точка касания D лежат на одной прямой.

ugol-mezhdu-kasatelnymi-dvuh-okruzhnostej Проведём радиусы O1A и O2B в точки касания с их общей внешней касательной CM.

${O_1}A \bot CM,{O_2}B \bot CM$

(как радиусы, проведённые в точки касания), следовательно, O1A∥O2B и четырёхугольник ABO2O1 — прямоугольная трапеция.

Проведём высоту O2F.

Четырёхугольник ABO2F — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Значит, AF=O2B=R-r, O2F=AB=2√Rr.

В прямоугольном треугольнике O1O2F

$\sin \angle {O_1}{O_2}F = \frac{{{O_1}F}}{{{O_1}{O_2}}} = \frac{{R - r}}{{R + r}}$

Обозначим для удобства ∠O1O2F=α. Тогда

$\sin \alpha = \frac{{R - r}}{{R + r}},$

$\cos \alpha = \frac{{{O_2}F}}{{{O_1}{O_2}}} = \frac{{2\sqrt {Rr} }}{{R + r}},$

$tg\alpha = \frac{{{O_1}F}}{{{O_2}F}} = \frac{{R - r}}{{2\sqrt {Rr} }}.$

∠O1CM=∠O1O2F=α (как соответственные при AB∥FO2 и секущей CO1).

CO1 — биссектриса угла KCM. Значит, ∠KCM=2α.

Если значения синуса, косинуса или тангенса не являются табличными, можно найти синус, косинус или тангенс угла KCM, используя формулы двойного угла.

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ;$

$\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1;$

$tg2\alpha = \frac{{2tg\alpha }}{{1 - t{g^2}\alpha }}.$

Например,

$tg\angle {\rm{KCM}} = \frac{{2 \cdot \frac{{R - r}}{{2\sqrt {Rr} }}}}{{1 - {{(\frac{{R - r}}{{2\sqrt {Rr} }})}^2}}} = \frac{{4\sqrt {Rr} (R - r)}}{{4Rr - {{(R - r)}^2}}}.$

Угол KCM равен арктангенсу этой величины.

Угол между общими касательными

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Навигация по сайту

Рубрики