Угол между биссектрисами прямоугольного треугольника

Угол между биссектрисами прямоугольного треугольника

Дан угол между биссектрисами прямоугольного треугольника. Как найти его острые углы?

Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 45º. Поэтому, если в задаче дан угол между биссектрисами прямоугольного треугольника, отличный от 45º, то это — угол между биссектрисами острого и прямого углов.

Задача 

Биссектрисы прямоугольного треугольника пересекаются под углом α. Найти острые углы треугольника.

I. Если угол α — острый.

Ugol mezhdu bissektrisami pryamougolnogo treugolnika    Дано:

∆ABC, ∠С=90º,

CF и BK — биссектрисы,

CF и BK пересекаются в точке N,

∠СNK=α.

   Найти: ∠A, ∠СBA.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник KNC.

Так как CF — биссектриса прямого угла ACB, то ∠KCN=90:2=45º.

∠СNK=α (по условию).

Так как сумма углов треугольника равна 180º,

∠СKN=180º-45º- α=135º- α.

2) Рассмотрим треугольник KBC.

∠KCB=90º (по условию).

∠СKN=135º- α (по доказанному).

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠BKC=90º-∠СKN=90º-(135º- α)=90º-135º+ α= α-45º.

3) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как BK — биссектриса ∠ABC, то ∠ABC=2∙∠BKC=2∙(α-45º)=2α-90º.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠A=90º-∠ABC=90º-(2α-90º)=90º-2α +90º=180º-2α.

Ответ: 2α-90º; 180º-2α.

II. Если угол α — тупой.

dan ugol mezhdu bissektrisami pryamougolnogo treugolnika    Дано:

∆ABC, ∠С=90º,

CF и BK — биссектрисы,

CF и BK пересекаются в точке N,

∠СNB=α

   Найти: ∠A, ∠СBA.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник CNB.

Так как CF — биссектриса прямого угла ACB, то ∠KCN=90:2=45º.

∠СNB=α (по условию).

Так как сумма углов треугольника равна 180º,

∠NBC=180º-45º- α=135º- α.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как BK — биссектриса ∠ABC, то ∠ABC=2∙∠BKC=2∙(135º- α)=270º- 2α.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠A=90º-∠ABC=90º-(270º- 2α)=90º-270º+ 2α=2α -180º.

Ответ: 270º- 2α; 2α -180º.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *