Третий признак подобия треугольников

Теорема

(Третий признак подобия треугольников — подобие треугольников по трём сторонам).

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

tretij-priznak-podobiya Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁,

$\frac{{AB}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{AC}}{{A_1 C_1 }} = \frac{{BC}}{{B_1 C_1 }}$

Доказать: ΔABC∼ ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

3-priznak-podobiya 1) Отложим на луче A₁B₁ отрезок A₁B₂, A₁B₂=AB.

2) Через точку B₂ проведём прямую B₂С₂, параллельную прямой B₁C₁.

3) В треугольниках A₁B₂C₂ и A₁B₁C₁:

Поэтому ΔA₁B₂C₂∼ΔA₁B₁C₁(по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{{A_1 B_2 }}{{A_1 B_1 }} = \frac{{A_1 C_2 }}{{A_1 C_1 }} = \frac{{B_2 C_2 }}{{B_1 C_1 }}.$

4) Поскольку A₁B₂=AB, то

$\frac{{AB}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{A_1 C_2 }}{{A_1 B_1 }} = \frac{{B_2 C_2 }}{{B_1 C_1 }}.$

Так как по условию

$\frac{{AB}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{AC}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{BC}}{{B_1 C_1 }},$

то A₁C₂=AC и B₂C₂=BC.

5) В треугольниках ABC и A₁B₂C₂:

Значит, ΔABC=ΔA₁B₂C₂ (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

6) В треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

Отсюда ΔABC∼ ΔA₁B₁C₁ (по двум углам).

Что и требовалось доказать.

3-й признак подобия треугольников используется реже 1-го.