Катет, лежащий против угла 30 градусов

Утверждение

Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.

katet lezhaschiy protiv ugla 30

Дано:

∆ ABC,

∠C=90º,

∠A=30º.

Доказать:

$BC = \frac{1}{2}AB$

Доказательство:

I способ

∠B=90º-∠A=90º-30º=60º.

Проведем из вершины прямого угла медиану CF.

katet lezhaschiy protiv 30

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то

$CF = \frac{1}{2}AB,$

то есть, CF=AF=BF.

Так как BF=CF, то треугольник BFC — равнобедренный с основанием BC.

Следовательно, у него углы при основании равны:

∠B=∠BCF=60º.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике BFC

∠BFC =180º -(∠B+∠BCF)=60º.

Поскольку все углы треугольника BFC равны, то этот треугольник — равносторонний.

Значит, все его стороны равны и

$BC = CF = BF = \frac{1}{2}AB$

Что и требовалось доказать.

II способ

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠B=90º-∠A=90º-30º=60º.

katet protiv ugla 30

Построим треугольник ADC, равный треугольнику ABC.

В нем ∠D=∠B=60º и ∠CAD=∠CAB=30º ( по построению).

Отсюда, ∠BAD=∠CAD+∠CAB=60º.

Следовательно, в треугольнике ABD все углы равны:

∠BAD=∠D=∠B=60º.

Значит, треугольник ABC — равносторонний, и все его стороны равны: AB=AD=BD.

BC=DC (по построению), поэтому

$BC = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AB.$

Что и требовалось доказать.